【资料分享】奥数题型与解题思路41~60讲

41、简单方程的解法

  【一元一次方程解法】求方程的解(或根)的过程,叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤(或解法)是:去分母,去括号,移项,合并同类项,两边同除以未知数x的系数。

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  解 去分母,两边同乘以6,得

  3x-9-211-x=12

  去括号,得3x-27-22+2x=12

  移项,得3x+2x=12+27+22

  合并同类项,得5x=61

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  【分式方程解法】分母中含未知数的方程分式方。解分式方程的一般步骤(或方法)是:

  (1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;

  (2)解这个整式方程;

  (3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根,是原方程的增根,必须舍去。

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  解 方程两边都乘以xx-2),约去分母,得

  5x-2=7x

  解这个整式方程,得x=-5

  检验:当x=-5时,

  xx-2=-5)(-5-2=350

  所以,-5是原方程的根。

  img4

  解方程两边都乘以(x+2)(x-2),即都乘以(x2-4),约去分母,得

  (x22-16=(x+22

  解这个整式方程,得x=-2

  检验:当x=-2时,(x+2)(x-2=0,所以,-2是增根,原方程无解。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42、加法运算定律

  【加法交换律】两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。这叫加法的交换定,简加法交换

  加法交换律用字母表达,可以是

  a+b=b+a

  例如:864+1236=1236+864=2100

  【加法结合律】三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。这叫加法的结合定,简加法结合

  加法结合律用字母表达,可以是

  (a+b+c=a+b+c)。

  例如:(48928+2735+7265

  =48928+2735+7265

  =48928+10000

  = 58928

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43、几何图形旋转

  【长方形(或正方形)旋转】将一个长方形(或正方形)绕其一边旋转一周,得到的几何体

  如1.37,将矩ABCDAB旋转一周,得圆AB。其AB为圆柱的轴,也是圆柱的高BCAC是圆柱底面圆的半径CD叫做圆柱的母线。

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  【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周,所形成的几何体

  例如1.38,将直角三角ABC,绕直角AC旋转一周,便形成了圆AC。其AC是圆锥的轴,也是圆锥的高CB是圆锥底面的半径AB叫做圆锥的母线。

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  【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体,叫

  例如1.39,将直角梯ABCD绕着它的直角AB旋转一周。便形成了圆AB。其中AB是圆台的轴,也是圆台的高,上下ADBC,分别是圆台上、下底面圆的半径,斜DC,是圆台的母线。

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  【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体,叫

  例如1.40,半圆绕着它的直AB旋转一周,便形成了O。原来的半圆圆O是球心;原来半圆的半径和直径,分别叫做球的半径和直径;原来半圆的直径也是球的轴和直径。

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44、几何图形的计数

【点与线的计数】

  15.45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多?

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  (全国第二华杯决赛试题)

  讲析:可分组对应来计数。

  将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形1个,其下行线2点;

  第二排三角形3个,其下行线3点;

  第三排三角形5个,其下行线4点;

  以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

  所以是小三角形个数多。

  2 线m4个点,直线n5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形?

  (如5.46

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  (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题)

  讲析:本题只要数出各直线上有多少条线段,问题就好解决了。

  直线n5个点,5点共可以组43+21=10(条)线段。以这些线段分别为底边m上的点为顶点,共可以组4×10=40(个)三角形。

  同理m4个点可以组6条线段。以它们为底边,n上的点为顶点可以组6×5=30(个)三角形。

  所以,一共可以组70个三角形。

【长方形与三角形的计数】

  15.47中的正方形被分9个相同的小正方形,它们一共16个顶点,以其中不在一条直线上3点为顶点,可以构成三角形。在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?

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  (全国第三华杯复赛试题)

  img123的三角形,或者高2,底3的三角形,都符合要求。

  底边长2,高3的三角形2×4×4=32(个);

  2,底边长3的三角形8×2=16(个)。

  所以,包括图中阴影部分三角形共48个。

  2 5.48中共______个三角形。

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  (《现代小学数学》)邀请赛试题)

  讲析:AB边上的线段为底边,C为顶点共有三角6个;

  AB边上的线段为底边,分别GHF为顶点共有三角3个;

  BD边上的线段为底边,C为顶点的三角形共6个。

  所以,一共15个三角形。

  3 5.49中共______个正方形。

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  (《现代小学数学》邀请赛试题)

  讲析:可先来看看5.50的两个图中,各含有多少个正方形。

  5.501)中,正方形个数324×1=32(个);

  5.502)中,正方形个数4×4+3×3+2×21×1=30(个)

  如果把5.49中的图形,分64×11两个长方形,则:

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  6的长方形中共有正方形

  5×6+4×5431×2=70(个);

  4×11的长方形中共有正方形

  4×11+3×10+2×91×8=100(个)。

  两个长方形相交部5的长方形中含有正方形

  4×5+3×431×2=40(个)。

  所以,原图中共有正方70100-40=130(个)。

  4 平面上16个点,排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相[5.511],每个点上钉上钉子。以这些点为顶点,用线将它们围起来,一共可围______个正方形。

  (《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题)

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  讲析:能围成5.512)的正方形14(个);

  能围成5.513)的正方形2(个);

  能围成5.514)的正方形4(个)。

  所以,一共可围成正方20个。

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【立体图形的计数】

  1 125块体积相等的黑、白两种正方体,黑白相间地拼成一个大正方体(如5.52)。那么,露在表面上的黑色正方体的个数_______

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  1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:本题要注意不能重复计数。

  八个顶点上各有一个黑色正方体,8个;

  每条棱的中间有一个黑色正方体,12个;

  除上面两种情况之外,每个面5个黑色正方体,5×6=30(个)。

  所以,总共50个黑色正方体露在表面上。

  2 1个棱长3厘米的正方体分割成若干个小正方体,这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等,那么,最少可以分割______个小正方体。

  (北京市第九迎春小学数学竞赛试题)

  讲析:若分成×××|的小正方体,则共可分27个。

  但是分割时,要求正方体尽可能地少,也就是说能分成大正方体的,尽可能地分。则在开始的时候,可分出一2×2×2的正方体(如5.53),余下的都只能分1×1×1的正方体了。

  所以,最少可分20个小正方体。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45、几何体侧面展开

  【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱(底面是正多边形,侧棱与底面垂直的棱柱)和圆柱的侧面展开,摊在同一个平面上,是一个矩形。矩形的上、下对边,是柱体上、下底面的周长;矩形左右两对边,是柱体的侧棱或母线。

  例如1.41,将正六棱ABCDEFA払扖扗扙扚捈霸仓O挼牟嗝嬲黄矫嫔愠闪司匦蜛1A1A2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后,也是一矩形,只是中间没有那些虚线%

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  【正棱锥侧面展开】n棱锥(底面为n边形,顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥)侧面展开,摊在同一平面上,是顶点公共、腰与腰相连n个全等的等腰三角形。

  例如1.42,将正三棱SABC的侧面展开,摊在同一个平面上,便形成了三个全等的等腰三角SABSBCSCA耐夹

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  【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开,摊在同一个平面上,变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长,扇形的两条半径,是圆锥的母线。

  例如1.43,将圆SO的侧面展开,摊在同一个平面上,便成了扇形

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SASA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲

  img22

  式r是圆锥底面圆半径l是圆锥母线的长。

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  【正棱台侧面展开】n棱台(用一平行于n棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面间的几何体)侧面展开,摊在同一个平面上,得到的n个全等的等腰梯形,并且腰腰相连。

  例如1.44,将正三棱ABCA払扖挼牟嗝嬲黄矫嫔阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟

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  【圆台侧面展开】圆台侧面展开,摊在同一个平面上的图形,是圆环的一部分,叫。这个扇环像梯形,它的是圆台的母线,它的上、是两条弧,其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。

  例如1.45,将圆O1O2的侧面展开,摊在同一个平面上,就形成了

img25 

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46、几何公式

  【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式,如下表。

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  【立体图形计算公式】

  (1)柱体公式。

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  (2)锥体公式。

  正n棱锥(如图113)的公式:

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  圆锥的公式(圆锥如图114所示):

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  img34 

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  (3)棱台、圆台公式。

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  正n棱台(如图115)的公式:

  img37

  圆台(如图116)的公式:

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   img39

  (4)球的计算公式。

  球的图形如图117所示。

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  S=4πr2

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  附录:其他常用公式

  【整数约数个数公式】一个大于1的整数,约数的个数等于它的质因数分解式中,每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。

  例如,求4500的约数个数。

  解 4500=22×32×53

  4500的约数个数是

  (2+1×2+1×3+1=36(个)。

  【约数之和的公式】一个大于1的自然数N,将它分解质因数为

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为自然数,则N的所有约数的和为SN),可用下列公式计算:

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  例如 1992的所有约数的和。

  解 S1992=S23×31×831

  img44

  =5040

  【分数拆项公式】在奥赛中,为使计算简便,经常用到下面四个分数拆项公式:

  (1)连续两个自然数积的倒数,可拆成较小的自然数的倒数,减去较大的自然数的倒数。即

   img45

  (2)连续三个自然数的积的倒数,可拆成前两个自然数的积的倒数,减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即

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  (3)连续四个自然数的积的倒数,可拆成前三个自然数的积的倒数,

  img47

  (4)一般分数拆项公式。当nd都是自然数时,有

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  【堆垛计算公式】

  (1)三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时,可将底边个乘以(n+1)再乘以(n+2),然后除以6。用式子表示就是

   img49

  例如一些桔子堆成三角形堆垛,底边每边4个,顶尖1个(如图118)。桔子总数是多少个

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  解 依据三角形堆垛公式,得

  img51

  =20(个)。

  (2)正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时,可将底边个数n乘以底边数加05的和,再乘以底边个数加1的和,最后将乘积除以3。用式子表示,就是

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  例如一些苹果堆成正方形堆垛(如图119),底层每边放4个,顶尖放一个。苹果总数是多少个

img53

  解 依据公式,得

  img54  

  (3)长方形堆垛。计算底层为长方形(近似于横放的三棱柱形,图120。)的堆垛物体的总个数S时,可将底层宽边的个数n1,长边的个数n2,按照下面的公式计算:

img55

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  例如有一盘馒头,底边宽5个,长边上放8个,如图120所示,这盘馒头共有多少个

  解 此题中,n1=5n2=8。依据长方形堆垛公式,得

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  =45+55=100(个)

  或者是

    img58

  (4)梯形堆垛。计算梯形的堆垛(近似于棱台形堆垛)物体总个数S时,可将最上层总数S1,加上最下层总数S2后,乘以层数n,再除以2。(梯形堆垛如图121所示。)用式子表示就是

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  例如一些酒坛,堆成梯形的堆垛(图121),最上层为32只,最下层为45只,共堆有14层(每层差1只)。酒坛的总数是多少只

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  解 依计算公式,得

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  【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点(不包括AB端点),则AB线段上共有的线段条数S,计算的公式是:

  S=n+1+n+n-1++3+2+1

  img62

  例如,求下图(图122)中所有线段的条数。

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  解 在线段AB上,共有五个分点。根据数线条数的公式,得

  S=5+1+5+4+3+2+1

  img64

  注意:这一公式,还可以用来数形如图123的三角形个数。

img65

  在这个图形中,因为底边BC上有4个分点,可依据数线段条数的计算公式,得三角形的个数为

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  【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格,另一边有n个小格,那么这个图形中长方形的总个数S

  S=m+m-1+m-2+……+3+2+1×n+n-1+n-2+……+3+2+1

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  例如,请数出下图124中共有多少个不同的长方形。

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  解 长方形ABCD长边上有6个小格,宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式,可得

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  =21×10=210(个)。(答略)

  注意:这一公式,还可以用来数形如图125中的梯形的个数。

img70

  显然,这个图形中除ADE以外,其余均为大大小小的梯形。

  最大的梯形下底上有五个小格,腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式,可得梯形的总个数S

  img71

  =15×10=150(个)。(答略)

  【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份,宽被分成了nnm)等份(长和宽上的每一份长度是相等的),那么这个长方形中的正方形总数S为:

  S=mn+m-1(n-1)+m-2(n-2+……+m-n+1×1

  特殊的,当一个正方形的边长被分成n等分时,则这个图形中正方形的总个数S为:

  img72

  例1 求下图中正方形的总个数(如图126)。

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  解 图中AB边上有7个等分,AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式,可得:

  S7×3+6×2+5×1

  =21+12+5

  =38(个)。(答略)

  例2 求下图(图127)中的正方形有多少个。

img74

  解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式,得

  img75

  (答略)

  【平面内n条直线最多分平面部

  分数的公式】平面内有n条直线,其中注意两条直线都不平行,每条直线都与其他直线相交,且不交同一点。那么,这几条直线将平面划分的部分数S

  img76 

  例 平面内有8条直线,它们彼此都相交,但不交于同一点,求这8条直线能把平面划分出多少个部分?

  解 根据平面内n条直线,最多分平面部分数的计算公式,得

  S=2+2+3+4+5+6+7+8

  img77

  【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆,每个圆都与其他圆相交,且不交于同一点,那么这个圆将平面划分的最多的部分数S

  S=2+1×2+2×2++n-1×2

  =n2-n+2

  例 在一个平面上有20个圆,这20个圆最多可将平面划分为多少个部分?

  解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式,可得

  S=2+1×2+2×2++19×2

  =202-20+2

  =400-20+2

  =382(块)(答略)

  【格点面积公式】

  每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上,纵横两组平行线的交点,叫,这样的方格纸,叫格点平

  在格点平面上求图形的面积,可以按照上面的公式去计算:

  图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点÷2-1

  例 如图128,求格点平面内AB两个图形的面积。

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  解 A图内部无格点,B图内部有9个格点;

  A图周界上有9个格点,B图周界上有7个格点。

  根据格点面积公式,得:

  A图面积=9÷2-1=3.5(面积单位)

  B图面积=9+7÷2-1=115(面积单位)(答略)

  如果格点是由形“∴“∵构成(如图129),且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形,则计算多边形面积公式为

  多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2

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47、几何公理、定理或性质

  【直线公理】经过两点有一条直线,并且只有一条直线。

  【直线性质】根据直线的公理,可以推出下面的性质:

  两条直线相交,只有一个交点。

  【线段公理】在所有连结两点的线中,线段最短。(或者说:两点之间线段最短。)

  【垂线性质】

  (1)经过一点,有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。

  (2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。(也可以简单地说成:垂线段最短。)

  【平行公理】经过直线外一点,有一条而且只有一条直线和这条直线平行。

  【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行,那么,这两条直线也相互平行。

  【有关平行线的定理】

  (1)如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行。

  (2)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么,这条直线也和另一条垂直。

  【三角形的特性】三角形有不变形的特性,一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性,所以在实践中它有广泛的应用。

  【三角形的性质】三角形的性质(或定理及定理的推论),一般有:

  (1)三角形任意两边的和大于第三边;三角形任意两边的差小于第三边。

  (2)三角形三内角之和等于180°

  由三角形上述第(2)条性质,还可以推出下面的两条性质:

  三角形的一个外角,等于它不相邻的两个内角之和。如图1.14=1+2

  三角形的一个外角,大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1

  4142

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  【勾股定理】在直角三角形中,两条直角边的平方和,等于斜边的平方。

  用字母表达就是a2+b2=c2。(ab表直角边长,c表斜边长。)

  我国古代把直角三角形叫勾股,直立的一条直角边叫,另一条直角边叫,斜边叫。所以我国将这一定理称勾股定

  勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)较早地证明了这个定理。因此,国外常称它毕达哥拉斯定

  【平行四边形的性质】

  (1)平行四边形的对边相等。

  (2)平行四边形的对角相等。

  (3)平行四边形邻角的和是180°。如图1.2A+B=B+C=C+D=D+A=180°

  (4)平行四边形的对角线互相平分。如图1.2AO=COBO=DO

  平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心。

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  【长方形的性质】

  长方形除具有平行四边形的性质以外,还具有下列性质:

  (1)长方形四个角都是直角。

  (2)长方形对角线相等。

  长方形是中心对称图形,也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线,都是它的对称轴。

  【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外,还具有下列性质:

  (1)菱形的四条边都相等。

  (2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3ACBDAO=COBO=DOACACBDBD

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  菱形是中心对称图

  形,也是轴对称图形,它每一条对角线都是它的对称轴。

  【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

  【多边形内角和定理】n边形的内角的和,等于(n-2·180°。(又求多边形内角的公式。)

  例如三角形(三边形)的内角和是

  (3-2×180°=180°

  四边形的内角和是

  (4-2×180°=360°

  【多边形内角和定理的推论】

  (1)任意多边形的外角和等于360°

  这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角(多边形外角)的和为180°,所以,n边形n个外角的和等于n·180°-n-2·180°=360°

  (2)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。

  例如图1.41的两边分别垂直A的两边,1+A=180°1A互补。

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  234的两边也分别垂直A的两边,3A也互补,2=A4=A

  【圆的一些性质或定理】

  (1)半径相等的两个圆是等圆;同圆或等圆的半径相等。

  (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆。

  (3)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

  (4)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

  (5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

  【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质:

  (1)如果两个图形关于某直线对称,那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。

  例如图1.5,图中的AA对称点连结线段,被对称轴L垂直且平分,即LAAAP=PA

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  (2)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么,交点在对称轴上。

  例如图1.5中,BABA的延长线相交,交点M在对称轴L上。

  (3)两个关于某直线对称的图形,一定是全等形。

  例如,图1.5ABCABC全等 

  【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后,它和另一个图形重合,那么,这两个图形就是关于这个点中心对称图

  中心对称图形具有以下性质:

  (1)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

  例如,图1.6中对称点AABBCC,它们的连线都经过O(对称中心),并且OA=OAOB=OBOC=OC

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  (2)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

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48、和差积商的变化规律

  【和的变化规律】

  1)如果一个加数增加(或减少)一个数,另一个加数不变,那么它们的和也增加(或减少)同一个数。用字母表达就是

  如a+b=c,那么a+d+b=c+d

  a-d+b=c-d

  2)如果一个加数增加一个数,另一个加数减少同一个数,那么它们的和不变。用字母表达就是

  如a+b=c,那么a+d+b-d=c

  【差的变化规律】

  1)如果被减数增加(或减少)一个数,减数不变,那么,它们的差也增加(或减少)同一个数。用字母表达,就是

  如a-b=c,那么a+d-b=c+d

  a-d-b=c-d

  ad+b

  2)如果减数增加(或减少)一个数,被减数不变,那么它们的差反而减少(或增加)同一个数。用字母表达,就是

  如a-b=c,那a-b+d=c-dab+d),

  a-b-d=c+d

  3)如果被减数和减数都增加(或都减少)同一个数,那么,它们的差不变。用字母表达,就是

  如a-b=c,那么a+d-b+d=c

  a-d-b-d=c

  【积的变化规律】

  1)如果一个因数扩大(或缩小)若干倍,另一个因数不变,那么,它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数。用字母表达,就是

  如a×b=c,那么n×b=c×n

  n×b=c÷n

  2)如果一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小同样的倍数,那么它们的积不变。用字母表达,就是

  如a×b=c,那么n×n=c

  或n×n=c

  【商或余数的变化规律】

  1)如果被除数扩大(或缩小)若干倍,除数不变,那么它们的商也扩大(或缩小)同样的倍数。用字母表达,就是

  如a÷b=q,那么n÷b=q×n

  n÷b=q÷n

  2)如果除数扩大(或缩小)若干倍,被除数不变,那么它们的商反而缩小(或扩大)同样的倍数。用字母表达,就是

  如a÷b=q,那a÷n=q÷n

  a÷n=q×n

  3)被除数和除数都扩大(或都缩小)同样的倍数,那么它们的商不变。用字母表达,就是

  如a÷b=q,那么n÷n=q

  n÷n=q

  4)在有余数的除法中,如果被除数和除数都扩大(或都缩小)同样的倍数,不完全商虽然不变,但余数却会跟着扩大(或缩小)同样的倍数。

  这一变化规律用字母表示,就是

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创建时间:2021-04-24 10:13
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