【资料分享】奥数题型与解题思路21~40讲

21、数字和与最大最小问题

  【数字求和】

  1 100个连续自然数的和8450,取其中1个,3个,5……99个(所有第奇数个),再把50个数相加,和______

  (上海市第五届小学数学竞赛试题)

  讲析:5051两个数的平均数8450÷ 100= 84. 5,所以,50个数84100个连续自然数是:

  353637……133134

  上面的一列数分别取13599个数得:

  353739131133

  则50个数的和是:

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  2 1100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码的和_____

  (上海市第五届小学数学竞赛试题)

  讲析;可1100这一百个自然数分组,得

  1239),10111219),2021222990919299),100)。

  容易发现前10组中,每组的个位数字之和45。而第一组十位上0,第二组十位上1,第三组十位上2第十组十位上9,所以全体十位上的数字和是l+2+3++9×10=450。故所有数码的和45×10+450+l=901

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续若干个数字之和1992,那a=____

  (北京市第八迎春小学数学竞赛试题)

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  又1992÷27=732121=8+5+7+1,所 a=6

  4 有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这种方法计算了四次,分别得到四个数8692100106。那么,原来四个数的平均数是

  1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:每次所选的三个数,计算其平均数,实际上就是计算这三个数中

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原来四个数的平均数为86+92+100+106÷2=192

  【最大数与最小数】

  1 三个不同的最简真分数的分子都是质数,分母都是小20的合数,要使这三个分数的和尽可能,这三个分数是

  (全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题)。

  讲析 20以内的质数有 2 3 5 7 11 13 17 19

  要使三个分数尽量大,必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真

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  2 12345678这八个数分成三组,分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等,且最大的和是最小和2倍。问:最小的和是多少?

  (全国第三华杯决赛口试试题)

  讲析;因1+2+3++8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的

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  3 20以内的质数分别填中(每个质数只用一次):

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  使A是整数A最大是多少?

  (第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

  讲析:要使A最大,必须使分母尽量小,而分子尽量大。

  分母分别235A都不能为整数。当分母7时,

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  4 一组互不相同的自然数,其中最小的数1,最大的数251之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数2倍,或者等于这组数中某两个数之和。问:这组数之和的最大值是多少?当这组数之和有最小值时,这组数都有哪些数?并说明和是最小值的理由。

  (全国第四华杯决赛第一试试题)

   析:观察自然123452525个数,发现它们1之外,每个数都能用其中某一个数2倍,或者某两个数之和表示。因此,这组数之和的最大值1+2+3++25=325

  下面考虑数组中各数之和的最小值。

  125是必取的25不能表示成一个数2倍,而表示成两个数之和的形式,共12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数20+5)或者10+15)。当152025时,还需2310三个;当1101525时,还需235。经比较这两组数,可知当12345101525时,和最小61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22、数字串问题

  【找规律填数】

  例1 找规律填数

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  (杭州市上城区小学数学竞赛试题)

    img11

  (1992年武汉市小学数学竞赛试题)

  讲析:数列填数问题,关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。

  第(1)小题各数的排列规律是:135(奇数)个数分别

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别是42

  第(2)小题粗看起来,各数之间好像没有什么联系。于是,运用分数

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得到了 

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  例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。

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  (1994年天津市小学数学竞赛试题)

  讲析:根据题意,可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数,是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33

  【数列的有关问题】

   img17

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数是几分之几?

  (第一届《从小爱数学》邀请赛试题)

  讲析:经观察发现,分母是12345的分数个数,分别是13579。所以,分母分别为123……9的分数共

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  img20 

  img21 

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  例2 有一串数:119931992119911990119891988这个数列的第1993个数是______

  (首届《现代小学数学》邀请赛试题)

  讲析:把这串数按每三个数分为一组,则每组第一个数都是1,第二、三个数是从1993开始,依次减1排列。

  而1993÷3=6641,可知第1993个数是1

  例3 已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字,是由自然数199依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______

  (1988年上海市小学数学竞赛试题)

  讲析:将原小数的小数部分分成AB两组:

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  A中有9个数字,B中有180个数字,从1049共有80个数字。所以,第88位上是4

  例4 观察右面的数表(横排为行,竖排为列);

   img24

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几行,自左向右的第几列。(全国第三华杯决赛试题)

  讲析:第一行每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分母之和为3,第三行每个分数的分子与分母之和为4即每行各数的分子与分母之和等于行数加1

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  例5 如图5.4,除了每行两端的数之外,其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数,那么第100行各数之和是_______

  (广州市小学数学竞赛试题)

  讲析:可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是681012,从而得出,每行的数字之和,是行数的2倍加4。故第100行各数之和为100×24=204.

  例6 伸出你的左手,从大拇指开始,如图5.5所示的那样数数:l23。问:数到1991时,会落在哪个手指上?

  (全国第三华杯决赛口试试题)

  讲析:1之外,从2开始每8个数为一组,每组第一个数都是从食指开始到拇指结束19911÷8=2486剩下最后6个数又从食指开始数,会到中指结束。

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  例7 如图5.6,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。2处拐第一个弯,3处拐第二个问拐第二十个弯处是哪个数?

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  (全国第一华杯决赛口试试题)

  讲析:写出拐弯处的数,然后按每两个数分为一组:(23),(57),(1013),(1721),(2631。将会发现,每组数中依次相差12345。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2345。从而可推出,拐第二十个弯处的数是111

  例8 自然数按图5.7顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问:1993排在第几行第几列?

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  (全国第四华杯复赛试题)

  讲析:观察每斜行数的排列规律,每斜行数的个数及方向。

  每一斜行数的个数分别是12345,奇数斜行中的数由下向上排列,偶数斜行中的数由上向下排列。

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斜行,该斜行的数是由下向上排列的,且第63行第1列是1954

  由于从1954开始,每增加1时,行数就减少1,而列数就增加1。所以1993的列数、行数分别是:

  199319541=40(列),63-19931954=24(行)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23、数阵图

  【方阵】

  例1 将自然数19,分别填在图5.17的方格中,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

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  (长沙地区小学数学竞赛试题)

  讲析:中间一格所填的数,在计算时共算了4次,所以可先填中间一格的数。

  (l+2+3+……+9÷3=15,则符合要求的每三数之和为15。显然,中间一数5

  再将其它数字顺次填入,然后作对角线交换,再通过旋转(如图5.18),便得解答如下。

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  例2 113这十三个数中挑出十二个数,填到图5.19的小方格中,使每一横行四个数之和相等,使每一竖列三个数之和又相等。

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  新苗小学数学竞赛试题)

  讲析:据题意,所选的十二个数之和必须既能被 3整除,又能被 4整除,(三行四列)。所以,能被12整除。十三个数之和为9191除以12,商77,因此,应去掉7。每列为(917÷4=21

  而113中,除7之外,共有六个奇数,它们的分布如图5.20所示。

  三个奇数和为21的有两种:21=19+11=35+13。经检验,三个奇数为3513的不合要求,故不难得出答案,如图5.21所示。

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  例3 十个连续自然数中,9是第三大的数,把这十个数填到图5.22的十个方格中,每格填一个,要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么,这个和数的最小值是______

  (1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

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  讲析:不难得出十个数为:234567891011。它们的和是65。在三个2×2的正方形中,中间两个小正方形分别重复了两次。

  设中间两个小正方形分别填上ab,则(65ab)之和必须是 3的倍数。所以,(ab)之和至少是7

  故,和数的最小值是24

  【其他数阵】

  例1 如图5.23,横、竖各12个方格,每个方格都有一个数。

  已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入358×四个数,那×代表的数是______

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  (1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

  讲析:可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21,所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出,竖格各数从上而下是:3108310831083108

  同理可推导出横格各数,其×=5

  例2 如图5.24,有五个圆,它们相交后相互分成九个区域,现在两个区域里已经分别填上数字106,请在另外七个区域里分别填进2345679七个数字,使每个圆内的数之和都是15

  (上海市第五届小学数学竞赛试题) 

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  讲析:可把图中要填的数,分别用abcdefg代替。(如图5.25

  显然a=5g=9

  则有:bc=10ef=6cde=15。经适当试验,可得b=3c=7d=6e=2f=4

  例3 如图5.26,将六个圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么,这六个质数的积是______

  (全国第一华杯决赛试题)

  讲析:最上面的小三角形与中间的小三角形,都有两个共同的顶点,且每个小三角形顶点上三数之和相等。所以,最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。

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  同样,左下角与右边中间的数相等,右下角与左边中间数相等。

  20÷2=10102+3+5

  所以,六个质数积为2×2×3×3×5×5=900

  例4 在图5.27的七中各填上一个数,要求每条直线上的三个数中,中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数,那么X=_______

  (1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

img42

  讲析:如图5.28,可将圆圈内所填各数分别用abcd代替。

  则d=15

  由15+c+a=17+c+b,得:ab2

  所以,b=13+2=15。进而容易算出,x=19

  例5 5.298个顶点处标注的数字:

  abcdefgh,其中的每一个数都等于相邻三个顶点

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  (全国第三华杯复赛试题)

  讲析:将外层的四个数,分别用含其它字母的式子表示,得

   img45 

   img46 

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  即(a+b+c+d-e+f+g+h=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24、数的组成

  【数字组数】

  例1 123456789这九个数字组成质数,如果每个数字都要用到,并且只能用一次,那么这九个数字最多能组成______个质数。

  (1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:自然数19这九个数字中,2357本身就是质数。于是只剩下14689五个数字,它们可组成一个两位质数和一个三位质数:41689。所以,最多能组成六个质数。

  例2 012……9这十个数字组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是一个奇数,并且尽可能的大。那么,这五个两位数的和是______

  (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。所以它们的十位上分别 是98765,个位上分别是01234。但要求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4=10为偶数,所以应将45交换,使和为:

  (9+8+7+6+4×10+1+2+3+5=351

  351即本题答案。

  例3 一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字,那么就称它被另一个三位。例如,241342吃掉,123123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉),但240223互不被吃掉。现请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉,并且它们的百位上数字只允许取12;十位上数字只允许取123;个位上数字只允许取1234

  这6个三位数是_______

  (第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

  讲析:六个三位数中,任取两个数ab,则同数位上的数字中,a中至少有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a

  当百位上为1时,十位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次减少1。即:114123132。当百位上为2时,十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。即:213222231。经检验,这六个数符合要求。

  例4 11223344这八个数字排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______

  (1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

  讲析:两个4之间有四个数字,则在两个4之间必有一个数字重复,而又要求两个1之间有一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134421314。然后可添上另一个23

  经调试,得23421314,此数即为所答。

  【条件数字问题】

  例1 某商品的编号是一个三位数,现有五个三位数:874765123364925。其中每一个数与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个三位数是_______

  (1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较,可发现:百位上五个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求的数的个位数字一定是45,百位上一定是26。经观察比较,可知724符合要求。

  例2 给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数3共用了_______

  (首届《现代小学数学)》邀请赛试题)

  讲析:可先求出1500个数字可编多少页。

  从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到第99页,共用去2×90=180(个)数字;余下的数字可编(1500-189÷3=437(页)

  所以,这本书共有536页。

  l99页,共用203,从100199页共用203,从200299页共用203,从300399页共用去1203,从400499页共用去203,从500536页共用去113。所以,共用去211个数字3

  例3 在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。

  (全国第四华杯决赛口试试题)

  讲析:可把三位数100999900个数,从100起,每10个数分为一组,得

  (100101……109),(110111……119990991999

  共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共有2×90=180(个)。

  例4 有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。这六个和中最小的四个数是83879294,原因数中最小的是______

  (上海市第五届小学数学竞赛试题)

  讲析:设原四个数从小到大为abcd,则有a+b=83a+c=87,所以cb4。而对于和为9294时,或者是b+c=92,或者是b+c=94

  当b+c=92时,因cb4,可得b=45,进而可求得a=38

  当b+c=94时,因cb4,可得b=44,进而可求得a=39

  所以,原四数中最小的数是3839

  img49

abcd=______

  (广州市小学数学竞赛试题)

  讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9,得新四位数(如图5.29)。从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。则

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img51 

  例6 有两个两位数,它们的个位数字相同,十位数字之和是11。这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字?

  (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

  讲析:由题意可知,两个数的十位上为(29),(38),(47),(56),而个上则可以是09的任意一个数字。如果分别去求这两个数的积,那是很麻烦的。

  设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为ab,则a+b=11,两数分别为(10a+c),(10b+c)。

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  img53

字。

    img54

能是68

  例7 期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月份,后两个数字表示日(如197645日记为760405)。

  第二届小祖杯的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因此这样的日期吉祥。问:从8791日到93630日,共有_______个吉祥日。(第二祖冲之小学数学竞赛试题)

  讲析:一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,只有11月份。而的个位数字只能是012

  所以是共有3个吉祥日:901109911119921129

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25、数的整除性规律

  【能被25整除的数的特征】(见小学数学课本,此处略)

  【能被39整除的数的特征】一个数,当且仅当它的各个数位上的数字之和能被39整除时,这个数便能被39整除。

  例如,1248621各位上的数字之和是

  1+2+4+8+6+2+1=24

  324,则31248621

  又如,372681各位上的数字之和是

  3+7+2+6+8+1=27

  927,则9372681

  【能被425整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末两位数能425整除时,这个数便能425整除。

  例如173824的末两位数244244173824

  43586775的末两位数75257525

  43586775

【能8125整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字0,或者末三位数能8125整除时,这个数便能8125整除。

  例如32178000的末三位数字0,则这个数能8整除,也能够125整除。

  3569824的末三位数824882483569824

  214813750的末三位数750125750125214813750

【能71113整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能71113整除时,这个数就能71113整除。

  例如75523的末三位数523,末三位以前的数字所表示的数75523-75=448448÷7=64,即

  7448775523

  又如1095874的末三位数874,末三位以前的数字所表示的数10951095-874=221221÷13=17,即

  13221131095874

  再如868967的末三位数967,末三位以前的数字所表示的数868967-868=9999÷11=9,即

  119911868967

  此外,能11整除的数的特征,还可以这样叙述:

  一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与偶数位上数字之和的差(大减小)能11整除时,则这个数便能11整除。

  例如4239235的奇数位上的数字之和为

  4+3+2+5=14

  偶数位上数字之和2+9+3=14

  二者之差14-14=00÷11=0

  110114239235

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26、数的公理、定理或性质

  【小数性质】小数的性质有以下两条:

  (1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。

  (2)把小数点向右移动n位,小数就扩大10n倍;把小数点向左移动n位,小数就缩小10n倍。

  【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,分数的大小不变。即

   img55

  【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数去九,或者叫9。求一个数去九,一般不必去除,只要把该数的各位数字加起来,再减去9的倍数,就得到该数去九。(求法见本书第一部(四)法则、方”“2.运算法则或方弃九验算词条。)去九数有两条重要的性质:

  (1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。

  (2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。

  这两条重要性质,是弃九验算验算加、减、乘、除法的依据。

  【自然数平方的性质】

1)奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1

  为什么有这一性质呢?这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。而

  (2k+12=4k2+4k+1

  =4kk+1+1

  kk+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4kk+1)是8的倍数,能被8整除,所4kk+1+1,即(2k+12能被8除余1,也就是任何一个奇数的平方被8除余1

  例如,272=729

  729÷8=91……1

2)偶数平方的性质。任何一个偶数的平方,都是4的倍数。

  这是因为偶数可以用2kk为整数)表示,而(2k24k2

  显然,4k24的倍数,即偶数的平方为4的倍数。

  例如,2162=46656

  46656÷4=11664

  即 4|46656

  【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:

  (1)两个偶数的和或差是偶数;两个奇数的和或差也是偶数。

  (2)一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。

  (3)两个奇数之积为奇数;两个偶数之积为偶数。

  (4)一个奇数与一个偶数之积为偶数。

  由第(4)条性质,还可以推广到:

  若干个整数相乘,只要其中有一个整数是偶数,那么它们的积就是个偶数。

  【偶数运算性质】偶数运算性质有:

  (1)若干个偶数的和或者差是偶数。

  (2)若干个偶数的积是偶数。

  例如,四个偶数381266721174的和,是偶数2010;用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差,也是偶数1984

  【奇数运算性质】奇数运算性质有:

  (1)奇数个奇数的和(差)是奇数;偶数个奇数的和(差)是偶数。

  (2)若干个奇数的积是奇数。

 

 

 

 

 

 

 

 

27、数的大小概念

  【比较分数大小】用常规方法比较分数大小,有时候速度很慢。采用下述办法,往往可大大提高解题的速度。

  1)交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘,然后

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  img58

  510 3×3=9 3×8=24 5×5=25

  img59

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  之所以能这样比较,是由于它们通分时,公分母是分母的乘积。这时,分数的大小就只取决于分子的大小了。

  21比较。当两个分数都接1,又不容易确定它们的大小

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img66img67 

  img68

  4)化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时

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序排列起来:

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  5)两分数相除。用两个分数相除,看它们的商是大1还是小1,往往能快速地找出它们的大小关系。由于这样做,省略了通分的过程,所以

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  显然,将它们反过来相除,也是可以的:

  img73

【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出,比较它们的大小,有一定难度。这时,可按下面的办法去做:

  1)先看分子1的情况。例如下题:

  img74

  第一种方法是直观比较。先画线段图(4.4):

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  由对线段图的直观比较可知,乙数大于甲数。

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img77 

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数。

  img81

可知

  img82

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  2)再看分子不1的情况。例如下题:

  img84

  它同样也可以用四种方法比较大小。比方

  用直观比较方法,可画线段图如下(4.5):

img85

  由图可知,甲数大于乙数。

  用统一分子的方法,也可比较它们的大小。因为

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  用图表示就是4.6

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  这就是说,把甲数分9份,乙数分8份,它们6份相等。所以,它们每一份也相等。而甲数9份,乙数只8份,故甲数大于乙数。

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去,即可知道甲数大于乙数。

  如果用转化关系式比较。由题意可知

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  根据一个因数等于积除以另一个因数,可得

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28、数的大小比较

  【分数、小数大小比较】

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  (全国第二华杯决赛口试试题)

  讲析:这两个分数如果按通分的方法比较大小,计算将非常复杂。于是可采用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。

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个数是______

  (1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:将给出的六个数分别写成小数,并且都写出小数点后面前四位数,则把这六个数按从大到小排列是:

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  【算式值的大小比较】

  例1 A=9876543×3456789 B=9876544×3456788

  试比较AB的大小。

  (1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题)

  讲析:可将AB两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时,只要把两式中某一部分变成相同的数,再比较不同的数的大小,这两个算式的大小便能较容易地看出来了。于是可得

  A =9876543×34567881

  =9876543×34567889876543

  B =98765431×3456788

  =9876543×34567883456788

  所以,AB

  例2 在下面四个算式中,最大的得数是算式______

  img102

  (1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:如果直接把四个算式的值计算出来,显然是很麻烦的,我们不妨运用化简繁分数的方法,比较每式中相同位置上的数的大小。

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创建时间:2021-04-24 10:12
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