【资料分享】奥数题型与解题思路11~20讲

11、有关数的法则或方法

  【数的读写方法】(整数中多位数的读写方法,以及小数、分数、百分数的读、写方法,见小学数学课本,此处略。)

  十分,它们常用中国数字和文二成九五等表示,并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数,或者用百分数去表示,这时便可按分数、百分数的方法去读。

  千分是表示一个数是另一个数的千分之几的分数,它常千分--“‰来写千分数,如某地人口出生率为千分之七,写7,读千分之

  【科学记数法】用带一位整数的小数,去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法,叫科学记数

  利用小数点移动的规律,很容易把一个数科学记数表达a×10n1a10n是整数的形式。例如:

  25700,把小数点向左移动四位,得12.5710,但2.5725700小了10000倍,所以

  25700=2.57×104

  0.00867,把小数点向右移动三位,得18.6710,但8.670.00867大了1000倍,所 

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  【近似数截取方法】截取近似数的方法,一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。

  四舍五入法省略一个数的一部分尾数,取它的近似数的时候,如果要舍去的尾数的最高位上的数是4,或者是比4小的数,就把尾数舍去;如果要舍去的尾数的最高位上的数是5,或者是比5大的数,把尾数舍去以后,要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫四舍五入

  例如,把8654000四舍五入到万位,约等于865万;把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62;把2873000000四舍五入到亿位,约等于29亿;把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00

  去尾法要省略的尾数不论是多少,一律舍去不要,这种求近似数的方法叫去尾

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  进一法省略某一个数某一位后面的尾数时,不管这些尾数的大小,都向它的前一位进一。这种求近似数的方法,叫进一

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  显然,进一方法截取的近似值,叫过剩近似,而去尾方法截取的近似值,叫不足近似

  值得注意的是:在近似数的取舍结果中,小数点后最右一位上的零必须写上。例如,把1.5972四舍五入,保留两位小数得1.60,即1.59721.60,最后0不可去掉,否则,它只精确到十分位了。

  【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数,一般有两种方法。

  (1)查表法。用查质数表的方法,可以较快地判断一个数是否为质数:质数表上有的是质数,同一范围内的质数表上没有这个数,那它便是个合数。

  (2)试除法。如果没有质数表,也来不及制作一个质数表,可以用试除来判断。

  例如,要判定161197是不是质数,可以把这两个数依次用235711131719等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积,若161197不能被这个合数的质因数整除,那么也一定不能被这个合数整除。所以,我们只要用质数去试除就可以了。

  由161÷7=23,可知161的约数除了1和它本身外,至少还有723。所以,161是合数,而不是质数。

  由197依次不能被23571113整除,而197÷17=11……10,这时的除数17已大于不完全商11,于是可以肯定:197是质数,而不是合数。因为197除了它本身以外,不可能有比17大的约数。假定有,商也一定比11小。这就是说,197同时还要有比11小的约数。但经过试除,比11小的质数都不能整除197,这说明比11小的约数是不存在的,所以197是质数,不是合数。

  【最大公约数求法】最大公约数的求法,一般可用下面四种方法。

  (1)分解质因数法。先把各数分解质因数,再把各数公有的一切质因数连乘起来,就是所求的最大公约数。例如,求2940756168的最大公约数:

   2940=22×3×5×72

  756=22×33×7

  168=23×3×7

  2940756168=22×3×7=84

  注2940756168=84的意思,就2940756168的最大公约数是84

  (2)检验公约数法检验公约数试除,也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法,此处略。

  (3)辗转相减法。较大的两个数求最大公约数,可以辗转相减:用大数减小数,如果减得的差与较小的数不相等,便再以大减小求差,直到出现两数相等为止。这时,相等的数就是这两个数的最大公约数。

  例如,求792594的最大公约数。

  792594=792-594594

  =198594=594-198198

  =198396=198396-198

  =198198=198

  792594=198

  用辗转相减法求两个数的最大公约数,可以推广到求n个数的最大公约数,具体做法是:可以不拘次序地挑选最方便的,从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去,直到所得的差全部相等为止。这个相等的差,就是这些数的最大公约数。

  例如,求126011348821008的最大公约数。

  126011348821008

  =1260-11348821008-8821134-882

  =126126882252

  =126126882-126×6252-126

  =126126126126=126

  126011348821008=126

  (4)辗转相除法(欧几里得算法)。

  用辗转相除法求两个数的最大公约数,步骤如下:

  光用较小数去除较大的数,得到第一个余数;

  再用第一个余数去除较小的数,得到第二个余数;

  又用第二个余数去除第一个余数,得到第三个余数;

  这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止。这时,余0前面的那个余数,便是这两个数的最大公约数。

  求两个较大的数的最大公约数,用上面的第一、二种方法计算,是相当麻烦的,而采辗转相除去求,就简便、快速得多了。

  例如,求437551的最大公约数。具体做法是:先将437551并排写好,再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做:

  (1)用较小数去除较大数把商1写在较大数的线外, 并求得余数为114

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  (2)用余数114去除437,把商3写在比114大的数(437)的线外,并求得余数为95

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  (3)用余数95去除114,把商1写在114右边的直线外,并求得余数为19

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  (4)用余数19去除95,把商5写在95左边的直线外面,并求得余数为0

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  (5)当余数为0时,就可断定余数0前面的那一个余数19,就是437551的最大公约数。

  又如,求6754的最大公约数,求法可以是

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  由余数可知,6754的最大公约数是1。也就是说,6754是互质数。

  辗转相除法,虽又称欧几里得算,实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的《九章算术》上,就以少减多,更相减的方法求最大公约数的记载。一般认为辗转相除即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。

  辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数,可以用它先求出其中两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去,直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数,就是这几个数所要求的最大公约数。

  【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义,可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数,而这组分数分别除以它们的最大公约数,应得整数。

  求一组分数的最大公约数的方法是:

  (1)先将各个分数中的带分数化成假分数;

  (2)再求出各个分数分母的最小公倍数a

  (3)然后求出各个分数分子的最大公约数b

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  再求出三个分母的最小公倍数,得72

  然后求出三个分子352156的最大公约数,得7

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  【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。

  (1)分解质因数法。先把各数分解质因数,在所有相同的质因数中,每一个取出指数最大的,跟所有不同的质因数连乘起来,就是所求的最小公倍数。

  例如,求120330525的最小公倍数。

  120=23×3×5

  330=2×3×5×11

  525=3×52×7

  [120330525]=23×3×52×7×11=46200

  注[120330525]=46200120330525三个数的最小公倍数是46200

  (2)检验公约数法检验公约数试除用短除法的求,也就是小学数学课本上介绍的一般方法,此处略。

  (3)先求最大公约数法。由两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘,即

  a·b=ab·[ab]

  所以,两个数的最小公倍数,可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即

    img13

  例如,求[42105]

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  若要求三个或三个以上的数的最小公倍数,可以先求其中两个数的最小公倍数,再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数,再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数,如此依次做下去,直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数,就是所要求的这几个数的最小公倍数。

  例如,求[300540160720]

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  [300540160720]=21600

  【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义,可以推广到分数。一组分数的最小公倍数,可能是分数,也可能是整数,但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。

  求一组分数的最小公倍数,方法是:

  (1)先将各个分数中的带分数化成假分数;

  (2)再求出各个分数分子的最小公倍数a

  (3)然后求出各个分数分母的最大公约数b

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  再求各分数分子的最小公倍数,得

  [352156]=840

  然后求各分数分母的最大公约数,得

  (689=1

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  【数的互化方法】整数、小数和分数,整数、假分数和带分数,整数、小数、分数和百分数,成数(或折数)、分数和百分数,它们之间可以互化,互化的方法见小学数学课本,此处略。

  化循环小数为分数,还可以用移动循环节的方法。例如

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  由这些实例,可以得循环小数化分数的法则如下:

1)纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数:分子是一个循环节的数字所组成的数;分母的各位数字都是99的个数同循环节的位数相同。

2)混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数:分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差;分母的头几个数字是9,末几位数字是09字的个数同循环节的位数相同0字的个数和不循环部分的位数相同。

  【分数化有限小数判断法】

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  若进一步研究,它又有以下的三种情况:

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5(即与10互质),或者除25以外,还包含其他的质因数,那么,这样的分数就不能化成有限小数,而只能化成无限循环小数。

  这里,又有以下的两种情况:

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5时,这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数,跟数列

  9999999999……

  各项中,能被分母b整除的最小的数所9字的个数相同。

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分母37去除9999999999,能整除的

最小的数是999,即

  99937999能被37是整除符号;亦可逆读37能整除999

  也可以表示为3799937能整除999也是整除符号;亦可逆读999能被37。)

  这999,含有39,所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个:

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  =0.513

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以外的质因数,那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数,跟25在分母内最高乘方的指数相同;循环节内数字的个数,跟数列

  9999999999……

  各项中,能被分母内25以外的质因数的积所整除的最小的数,所9字的个数相同。

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质因数11,所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3个(最高乘方23的指数为3),循环部分的循环节数字是两个(11999的个数为2个):

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  概括起来,把分数化成小数,判断其得数的情况,不外乎以下三种:

  (1)若分母只含质因数25,则化得的小数是有限小数;

  (2)若分母不含质因数25,则化得的小数是纯循环小数;

  (3)若分母既含质因数25,又含25以外的质因数,则化得的小数是混循环小数。

  注意:判断的前提是分数必须是既约(最简)分数,否则很容易出错。

  【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度,叫做溶液的百分比浓度。求法是

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  例如,用白糖(溶质)1千克,开水(溶剂)4千克混合以后,所得的糖水(溶液)的百分比浓度是

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用对称关系找约数

  【用对称关系找约数】找某一合数的约数,常有找不全的情况发生,而利用约数的对称关系去找,就能解决这一问题。方法是:

  1)若某个合数为某一个自然数的平方,则它的所有约数中心就是这个自然数;再把中心小的几个约数找出来,其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如,找36的全部约数:

  因36=626是所有约数中心。比中心6小的约数很容易找到,它们1234四个,于是比中心数大的约数,也就可依据对应关系,成对地找出来了,它们361对应)182对应)123对应)94对应)。如下图(4.7):

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  2)若某个合数不是某一自然数的平方,则可先找出一近似中心。例如,找102的全部约数:

  因102102112,所以可1011近似中心。然后找出比这个近似中心数小的所有约1236;再找出比近似中心数大的所有约102513417。如下图(4.8):

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  (注意中心是其中的一个约数,近似中心却不是其中的一个约数。)

  【叉乘法求最小公倍数】叉乘求最小公倍数,是极为快速的。例如

  2436的最小公倍数。如4.9

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  2436的最小公倍数24×3=7236×2=72

  这样做的道理很简单。因为

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  所以,2436独有的质因3,或者3624独有的质因2,都能得2436的最小公倍72。今后,用短除法找出两个数单独有的质因数以后,顺手画一×,把它们分别与原来的两个数相乘,就都会得到它们的最小公倍数。

  又如,201218三个数的最小公倍数。如4.10

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  2012的最小公倍数20×3=60

  6018的最小公倍数60×3=180

  201218三个数的最小公倍数便180

  如果先2018的最小公倍数,再用这个最小公倍数12去求三个数的最小公倍数;或者先1218的最小公倍数,再用这个最小公倍数20去求三个数的最小公倍数,也是可以的。

 

12、用补充数速算

  末尾是一个或几0的数,运算起来比较简便。若数末尾不0,而9851等,我们可以用1002)、501)等来代替,这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们100 98大约强2 98补充5051大约弱151补充。把一个数先写成它的大约强(弱)数与补充数的差(和),然后再进行运算,这种方法叫运用补充数。例如

  138799=3871001

  =3871001

  =486

  168089=1680-10011

  =1680100+11

  =1580+11

  =1591

  4365-997=4365-1000-3

  =4365-10003

  =3368

  69×9=69×10-1

  =690-69

  =621

  69×99=69×100-1

  =6900-69

  =6831

  87×98=87×100-2

  =8700-87×2

  =8700-200+26

  =8526

 

13、一般应用题

  【和差的问题】

  1 六年级有四个班,不算甲班,其余三个班的总人数131人;不算丁班,其余三个班的总人数134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数1人。四个班的总人数_____

  1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

  讲析:因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数1人。则乙、丙两班总人数3倍就等于131+134-l=264人。所以,乙、丙两班共246÷3=88(人)。然后可求出甲、乙两班总人数88+1=89(人),进而可求出四个班的总人数88+89=177(人)。

  2 东河小学画展上展出了许多幅画,其中16幅画不是六年级的,15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共25幅画,因此,其它年级的画共____幅。

  1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:16幅画不是六年级的15幅画不是五年级可得出,五年级比六年级1幅画。所以六年级共12幅画。然后可求出其它年级的画共有15-12)幅,3幅。

  3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中100个故事。每人都认某一个故事开始按顺序往后读。已知甲读75个故事,乙读60个故事,丙读52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少_____个。

  1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

  讲析:可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。

  乙、丙两人最少共同读故60+52-100=12(个)。因为每人都从某一故事按顺序往后,所以甲读75个故事。他无论从哪一故事开始读,都至少重读了上12个故事。故答案12个。

  4 某工11月份工作忙,星期日不休息,而且从第一天开始,每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底,总厂还剩工240人。如果月底统计总厂工人的工作量8070个工作日 111个工作日),且 1人缺勤。那么,这月由总厂派到分厂工作的工人____人。

  (北京市第九迎春小学数学竞赛试题。)

  讲析:到月底总厂剩240名工人,240名工人一个月的工作日 240×30=7200(个)。

  8070-7200=870(个)。

  可知870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。

  设每天a人到分厂工作,则这些人中留在总厂的工作日是a29a28a27a1天。

  所以,1+29×a×29÷2=870,可解a=2

  故,共派到分厂的工人2 × 30= 60(人)。

  【积商的问题】

  1 王师傅加1500个零件后,改进技术,使工作效率提高到原来2.5倍,后来再加1500个零件时,比改进技术前少用18小时。改进技术前后每小时加工多少个零件?

  1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题)

  讲析:改进技术后的工效提高到原来2.5倍,后来加1500个零件时,比改进技术前少18小时,则改进技术后加1500个零件的时间18÷2.5-1=12(小时)。

  原来加1500个零件的时间12+18=30(小时)

  于是,改进前每小时加工的便1500÷30=50(个),

  改进后每小时加工的便1500÷12=125(个)。

  2 2分硬币5分硬币各若干个,其2分的5分的24个,如果2分硬币等价换5分硬币,所得5分硬币要比原有5分硬币6个。原来两种硬币各有多少个?

  1993光远小学数学竞赛试题)

  讲析:我们用方程来解,设原来x5分的硬币;2分硬币共有x+24)个。

  由题意得2x+24÷5=x-6

  解得x=265分币26个。

  于是2分币便有

  26+24=50(个)

循环小数

  【循环小数化分数】

  img39小学数学竞赛试题)

  讲析:纯循环小数化分数时,分子由一个循环节的数字组成,分母由与

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  img41数推出?

  (长沙地区小学数学竞赛预赛试题)

  讲析:

  img42循环节有6位数字。

  而(89-3÷6=142。即小数点后第89位以后的数是230769循环。

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  【循环小数的计算】

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  (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题)

  讲析:可把小数都化成分数后,再计算,得

    img45

  例2 5.3列出的十个数,按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位

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________

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  (1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

  讲析:要想这个数最大,整数部分必须选9。它有四种:9.2918929159.1892915929.2915929189.159291892。无论循环节怎样安排,都是从小数点后第十位开始重复。所以,以上四数中最大的是9.291892915。再考

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14、旋转变换

  【旋转成定角】例如下面的题目:

  4.23中,半径8厘米的圆的内外各有一个正方形,圆内正方形顶点都在圆周上,圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问大正方形的面积比小正方形的面积大多少

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  按一般方法,先求大、小正方形的面积,再求它们的差,显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋45°,使原图变成4.24,容易发现,小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以,大正方形面积比小正方形的面积大

  2×2÷2

  =16×16÷2

  =128(平方厘米)

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  又如,如4.25,求正方形内阴影部分的面积。(单位:厘米)

  表面上看,题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心,分别按顺时针和逆时针方向旋90°,就得到了一个由阴影部分组成的半圆(如4.26),于是,阴影部分的面积就很容易解答出来了。(解答略)

  【开扇式旋转】有些图形相互交错,增加了解答的难度。若像打开折扇一样,绕着某个定点开扇旋转,往往会使人顿开茅塞,使问题很快获得解决。例如,求4.27的阴影部分的面积(单位:厘米)。若采用正方形面积减空白部分面积的求法,

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  计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的,我们不妨把右下部的扇形打开,顺时针方向旋90°,得到4.28;再继续旋转,得到4.29。在4.29中,阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以,阴影部分面积是

  42×3.14÷2-4+4×4×2

  =25.12-16

  =9.12(平方厘米)

  又如,求4.30阴影部分的面积(单位:厘米)。

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  将这个图从中间剪开,o为旋转中心,将右半部分按顺时针方向转到左半部下方,便变成了4.31。于是,阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即

  22×3.14÷2-2×2÷2

  =6.28-2

  =4.28(平方厘米)

 

 

 

 

 

 

 

15、小数和分数

  【小数问题】

  例1 某数的小数点向右移动一位,则小数值比原来大25.65,原数是_______

  (1993年吉林金翅小学数学竞赛试题)

  讲析:小数点向右移动一位以后,数值扩大了10倍,新数比原数就多9倍。所以,原数为25.65÷9=2.85

  例2 甲、乙两个数之和是171.6,乙数的小数点向右移动一位等于甲数,甲数是________

  (1993年广州市小学数学竞赛试题)

  讲析:乙数的小数点向右移动一位等于甲可知,甲数是乙数的10倍。所以,乙数是171.66÷10+1=15.6,甲数是15.6

  例3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点,使它变成小数,差就增加154.44,这个整数是________

  (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

  讲析:因为差增加154.44,所以这个整数一定是比原数缩小了100倍,即这个整数比原数增加了99倍,由154.44÷99=1.56可知,这个整数是156

  【分数问题】

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  (1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题)

  讲析:

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  20×11+2=22215×11=165

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  (1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

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  76458个连续自然数中,去掉13的倍数13263952四个数,用余下的54个数作分子,可得到54个最简分数。

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c,则三个分数的和为6。求这三个真分数。

  (第三届《从小爱数学》邀请赛试题)

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  因为三个分数为最简真分数,所以a只能是12b只能取13C只能取15

  经检验,a=2b=3c=5符合要求。故三个真分数分别是

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  例4 地同时满足下列条件的分数共有多少个?

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  (2)分子和分母都是质数;

  (3)分母是两位数。

  请列举出所有满足条件的分数。

  (1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题)

  讲析:100以内的质数有235711131719232931374143475359616771737983

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  即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法,来搜寻分母。

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  所以,符合条件的分数12个:

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16、特殊解题方法

  【穷举法】 解答某些数学题,可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况,不重复不遗漏地全部列举出来,以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。

  例1 从甲地到乙地有ABC三条路线,从乙地到丙地有DEFG四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线?(如图328

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  分析:从甲地到乙地有3条路线,从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。

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  解:3×412

  答:共有12条路线。

  例2 如果一整数,与123这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,能使结果等于24,那么这个整数就称为可用的。在456789101112这九个数中,可用的有_______个。(1992年小学数学奥林匹克初赛试题)

  分析:根据题意,用列式计算的方法,把各算式都列举出来。

  4×123)=24 512×324

  6×32l)=24 7×3十豆十224

  8×3×21)=24 9×31224

  10×2l324 11×23l24

  12×312)=24

  通过计算可知,题中所给的9个数与123都能够组成结果是24的算式。

  答:可用的数有9个。

  例3 0357中选出三个数字能排成_______个三位数,其中能被5整除的三位数有_________个。(1993年全国小学数学竞赛预赛试题)

  分析:根据题中所给的数字可知:

  三位数的百位数只能有三种选择:

  十位数在余下的三个数字中取一个数字,也有3种选择;

  个位数在余下的两个数字中取一个数字,有2种选择。

  解:把能排成的三位数穷举如下,数下标有横线的是能被5整除的。

  305 307 350 357 370 375

  503 507 530 537 570 573

  703 705 730 735 750 753

  答:能排成18个三位数,其中能被5整除的有10个数。

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  例4 数一数图330中有多少个大小不同的三角形?

  分析:为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形,可以把三角形分成ABCD四类。

  A类:是基本的小三角形,在图中有这样的三角形16个;

  B类:是由四个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上,一个尖朝下。

  C类:是由九个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形3个,尖都朝上。

  D类:是最大的三角形,图中只有1个。

  解:1673127(个)

  答:图中有大小不同的三角形共27个。

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  【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆,解题时把握不定,还有些数学题是要求两个(或几个)数量间的等量关系或者倍数关系,但已知条件却十分抽象,数量关系又很复杂,凭空思索,则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白,可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值,以利于探索解答问题的规律,正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。

  给哪一个未知量设数,要便于快速解题。为了使计算简便,数字尽可能小一点。在分数应用题中,所设的数以能被分母整除为好。若单 1未知,就给单1设具体数值。

  例1 判断下列各题。(对的,错的×

  (1)除1以外,所有自然数的倒数都小于1。( 

  (2)正方体的棱长和它的体积成正比例。( 

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  以上各数的倒数都小于1,就能猜测此题的说法是正确的。

  第(2)小题,给正方体的棱长设数,分析棱长的变化与其体积变化的规律。

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  由上表看出,正方体的棱长扩大2倍,体积扩大8倍;棱长扩大4倍,体积扩大64这不符合正比例的含义,就能断定此题的说法是错误的。

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几分之几?

  分析:先把女生人数看作单1,假定女生人数为60人。男生人数则为

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  女生人数比男生人数少几分之几,则为

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  解:通过设数分析,理清了数量关系,找到了解题线索,便能顺利地列出综合算式。

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  img86 。 

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  分析:这道题似乎条件不够,不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系,给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。

  假设去时每小时走20千米,那么AB两地的路程就是:

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  沿原路回家的速度则为:

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  回家时所需的时间则为:

    img91

  解:把全路程看作单1

  img92

  例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的42%,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是____

  (1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷)

  分析:题中没有给出具体数量,且数量关系错综复杂,不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单 1,给乙校学生人数假定一个具体数值,这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人,则甲校学生为:

  500×40= 200(人)

  由甲校女生数是甲校学生数的30%,则甲校女生数为:

  200×30=60(人)

  由乙校男生数是乙校学生数的42%,则乙校女生数为:

  500×1-42%)=290(人)

  两校学生总数为:

  500200=700(人)

  两校女生总数为:

  60290=350(人)

  则两校女生总数占两校学生总数的百分比为:

  350÷700=50

  解:[500×40×30%+500×1-42%)]÷500200

  =[60+290] ÷700

  =350÷700

  =50

  或[40×30+1-42%)]÷140%)=50

  答:两校女生总数是两校学生总数的50%。

  例7 如图3.32,正方形面积为20平方厘米,求阴影部分的面积。

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  分析:一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径,再求圆面积,然后用正方形的面积减去圆面积,即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1,运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几,再计算阴影部分的面积。

  设正方形的边长为1,正方形的面积则为:

  12=1

  圆的半径则为:

  img94

  圆面积占正方形面积的百分比为:

  img95 

  阴影部分的面积占正方形面积的百分比为

  1-78.5=21.5

  由此可知阴影部分的面积为

    img96

  20×21.5=4.3(平方厘米)

  解:设正方形的边长为1,则阴影部分的面积为

  =20×21.5

  =4.3(平方厘米)

  答:阴影部分的面积为4.3平方厘米。

  注意:如果把正方形的边长设为其它数,计算的结果都是相同的。

  【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似,从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是富于创造性的一种思维方法,在小学数学中有着广泛的应用。例如,分数和比都含有相除的意义,我们根据除法的商不变性质,类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时,遇到问题A和问题B有许多类似的属性,见到问题B时就会联想到问题A,于是可以用解决问题A的办法去解决问题B,或者用解决问题B的办法去解决问题A

  例1 从时针指向3点整开始,经过多少分钟,分针正好与时针重合?

  分析:此题与追及问题相类似。如果把钟面上1分钟的距离作为1格,则1小时分针走60格,时针走5格。那么分针走1格,

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经过多少时间分针与时针重合,实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。

    img100

  例 2 ABCDEFG7个站,每两站间都是相隔 600米。问从A站到G站的路程是多少米?

  分析:不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200(米)。此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似,把7个站看成7棵树,根据段数比棵树少1的道理解答此题。

  解:600×7-1=3600(米)

  答:从A站到G站的路程是3600米。

  例3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴,如果他买了6台手风琴后,把剩下的钱全部买提琴,可以买多少把提琴?

  分析:题中没有给出王老师带了多少钱,以及提琴和手风琴的单价等条件,怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢?可是仔细一想,便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一共带的钱数看 1,则每台手风琴

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  img103 

  =20(把)

  答:可以买20把提琴。

  此题还可用解正比例应用题的方法来解答,把题意转化为10台手风琴的钱与买50把提琴的钱相等,买4台手风琴的钱可以买多少把提琴

  解:设可以买x把提琴

  1010-6=50x

     img104

  答:可以买20把提琴。

  【尝试法】解答某些数学题,可以先根据题意对题目的答案进行猜测,然后把猜测的答案试一试,看这个答案是否符合题意。如果符合,则问题就得到解决。如果不符合,就得对答案进行调整,或者重新猜测,直到找出正确的答案为止。这种解题方法就是尝试法,或者叫做试验法。

  例1 046、、789这六个数字,分别填入下面算式的方框内,每个方框只许填一个数字,使每个等式都成立。

  img105

  分析:比较两个等式,先填第二个等式有利于快速解题。根据所给出的数字来分析,能使第二个等式成立的情况有两种:

  6×9=54 7×8=56

  如果把 6×9=54填入第二个等式,那么还剩下078三个数字,经过多次试验,这三个数字不可能使第一个等式成立。说明应重新调整。

  把7×8=56填入第二个等式,那么还剩下049三个数字,把这三个数字填入第一个等式,能使第一个等式成立,问题便得到解决。

  img106

  例2 有一类小于200的自然数,每一个数的各位数字之和为奇数,而且都是两个两位数的乘积(例如 144=12×12)。那么这一类自然数中,第三大的数是_____。(1992年小学数学奥林匹克初赛试题)

  根据条件,可以猜测这些两位数的十位数只可能是1,而且两位数中不能出现11,因为11×11=12111×12=13211×13=143乘积的每位数字之和均为偶数,不合题意,应予排除。经过分析,猜测有了一定的范围,于是进行尝试,边尝试边筛选,以求得正确的解答。

  10×10=100 10×12=120

  10×13=130(不合题意 10×14=140

  10×15=150(不合题意 10×16=160

  下面把不符合题意的情况,不再列举出来。

  12×12=14412×14=168

  12×15=18013×14=182

  13×15=195

  把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列:195182180168160144120100。第三大的数是180

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创建时间:2021-04-24 10:12
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