【资料分享】奥数题型与解题思路1~10讲

1、最值问 

【最小值问题】

  1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点,原来就各有一位民警值勤。为了保证安全,上级决定在沿途增加值勤民警,并规定每相邻的两位民警(包括原有的民警)之间的距离都相等。现知甲乙相5000米,乙丙相8000米,丙丁相4000米,那么至少要增______位民警。

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  (《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题)

  讲析:如5.91,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警,共7位民警。他们将上面的线段分为225002400022000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警,要求每两人之间距离相等,这实际上是要求250040002000分成尽可能长的同样长的小路。

  由250040002000的最大公约数500,所以,整段路最少需要的民警数是500080004000÷5001=35(名)。

  2 在一个正方体表面上,三只蚂蚁分别处ABC的位置上,如5.92所示,它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面,那么,应选择哪点会面最省时?

  (湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题)

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  讲析:因为三只蚂蚁速度相等,要想从各自的地点出发会面最省时,必须三者同时到达,即各自行的路程相等。

  我们可将正方体表面展开,如5.93ABC三点在同一平面上。这样,便将问题转化为在同一平面内找出一O使O到这三点的距离相等且最短。

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  所以,连AC,它与正方体的一条棱交O;再连OB,不难得AO=OC=OB

  故O点即为三只蚂蚁会面之处。

【最大值问题】

  1 有三条线abc,并abc。判断:5.94的三个梯形中,第几个图形面积最大?

   img4

  (全国第二华杯初赛试题)

  讲析:三个图的面积分别是:

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  三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积,不变量是abc)的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数,求这两个数为何值时,乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知,ab×c这组数的值最接近。

  故图3)的面积最大。

  2 某商店有一天,估计将进货单价90元的某商品100元售出后,能卖500个。已知这种商品每个涨1元,其销售量就减10个。为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每______元。

  (台北市数学竞赛试题)

  讲析:因为按每100元出售,能卖500个,每个涨1元,其销量减10个,所以,这种商品按单90元进货,共进600个。

  现600个商品按每10个,可分60份。因每个涨1元,销量就减1份(10个);相反,每个减1元,销量就增1份。

  所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当60分为两30时,即每个涨30元,卖30份,此时有最大的利润。

  因此,每个售价应定9030=120(元)时,这一天能获得最大利润。

 

 

2、最值规律

  【积最大的规律】

  1)多个数的和一定(为一个不变的常数),当这几个数均相等时,它们的积最大。用字母表示,就是

  如a1+a2++an=bb为一常数),

  那么,a1=a2==ana1×a2××an有最大值。

  例如a1+a2=10

  …………→………

  1+9=101×9=9

  2+8=102×8=16

  3+7=103×7=21

  4+6=104×6=24

  4.5+5.5=104.5×5.5=24.75

  5+5=105×5=25

  5.5+4.5=105.5×4.5=24.75

  …………→………

  9+1=109×1=9

  …………→…………

  由上可见,a1a2两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差0a1=a2时,它们的积就会变得最大。

  三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限,在此不一一举例。

  积最大规,可以推出以下的结论:

  结1 所有周长相等n边形,以n边形(各角相等,各边也相等n边形)的面积为最大。

  例如,n=4时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。

  例题:用长24厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?

   设长a厘米,宽b厘米,依题意得

  a+b×2=24

   a+b=12

  由积最大规律,a=b=6(厘米)时,面积最大为

  6×6=36(平方厘米)。

  (注:正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。)

  结2 在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。

  例题:12米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最大?

   设长方体的长a米,宽b米,高c米,依题意得

  a+b+c×4=12

  a+b+c=3

  由积最大规律,a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。最大体积为

  1×1×1=1(立方米)。

  2)将给定的自然N,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数全23,并2至多为两个时,这些自然数的积最大。

  例如,将自然8拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢?

  我们可将各种拆法详述如下:

  分拆8个数,则只能81,其积1

  分拆7个数,则只能6112,其积2

  分拆6个数,可得两组数:111113);111122)。它们的积分别34

  分拆5个数,可得三组数:11114);11123);11222)。它们的积分别468

  分拆4个数,可5组数:1115);1124);1133);1223);2222)。它们的积分别5891216

  分拆3个数,可5组数:116);125);134);224);233)。它们的积分别610121618

  分拆2个数,可4组数:17);26);35);44)。它们的积分别7121516

  分拆成一个数,就是这8

  从上面可以看出,积最大的是

  18=3×3×2

  可见,它符合上面所述规律。

  用同样的方法,671425分拆成若干个自然数的和,可发现

  6=3+3时,其3×3=9为最大;

  7=3+2+2时,其3×2×2=12为最大;

  14=3+3+3+3+2时,其3×3×3×3×2=162为最大;

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  由这些例子可知,上面所述的规律是正确的。

  【和最小的规律】几个数的积一定,当这几个数相等时,它们的和相等。用字母表达,就是如a1×a2××an=cc为常数),

  那么,a1=a2==ana1+a2++an有最小值。

  例如a1×a2=9

  …………→…………

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  1×9=91+9=10

  img8

  3×3=93+3=6

  img9

  …………→…………

  由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小;当两数差0时,它们的和为最小。

  例题:用铁丝围成一个面积16平方分米的长方形,如何下料,材料最省?

   设长方形长a分米,宽b分米,依题意a×b=16

  要使材料最省,则长方形周长应最小,a+b要最小。根和最小规,取

  a=b=4(分米)

  时,即16分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省。

  推 和最小规可以推出:在所有面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小。

  例如,面积均4平方分米的正方形和圆,正方形的周长8分米;而

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  的周长小于正方形的周长。

  【面积变化规律】在周长一定的正多边形中,边数越多,面积越大。

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0.433×6=2.598(平方分米)。

  img12

方形的面积。

  推 由这一面积变化规律,可以推出下面的结论:

  在周长一定的所有封闭图形中,以圆的面积为最大。

  例如,周长4分米的正方形面积1平方分米;而周长4分米的圆,

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于和它周长相等的正方形面积。

  【体积变化规律】在表面积一定的正多面体(各面为n边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。

  例如,表面积8平方厘米的正四面SABC(如1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积2平方厘米,它的体积约1.1697立方厘米。而表面积8平方厘米

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长约1.1546厘米,体积约1.539立方厘米。显然,正方体体积大于正四面体体积。

 img15   img16

  推 由这一体积变化规律,可推出如下结论:

  在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。

  例如,表面积8平方厘米的正四面体,体积约1.1697立方米;表面积8平方厘米的正六面体(正方体),体积约1.539立方厘米;而表面积8平方厘米的球,体积却约2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。

  【排序不等式】 对于两个有序数组:

  a1a2≤…an b1b2≤…bn

  a1b1+a2b2++anbn(同序)

  Ta1b1+a2b2++anbn(乱序)a1b

  n+a2bn-1++a>nb1(倒序)(其b1b2bn

  b1b2bn的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅a1=a2==anb1=b2==bn时,式中等号成立。)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小例题:设10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二九、十个人的桶,分别需123910分钟。问:如何安排10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?这个总费时至少是多少分钟?

  img17

   设每人水桶注满时间的一个有序数组为123910

  打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成

  123910

  根据排序不等式,最小积的和为倒序,即

  1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1

  =1×10+2×9+3×8+4×7+5×6×2

  =10+18+24+28+30×2

  =220(分钟)

  其排队顺序应为:根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3、最优方案与最佳策 

【最优方案】

  1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品,按工艺规定,每件甲产品需分别ABCD四台不同设备上加2140小时;每件乙产品需分别ABCD四台不同设备上加2204小时。已ABCD四台设备,每天最多能转动的时间分别1281612小时。生产一件甲产品该厂得利200元,生产一件乙产品得利300元。问:每天如何安排生产,才能得到最大利润?

  (中国台北第一届小学数学竞赛试题)

  讲析:设每天生产甲产a件,乙产b件。由于设A的转动时间每天最多12小时,则有:2a2b)不超12

  又a2b)不超8

  4a不超16

  4b不超12

  由以上四个条件知,

  b1a1234

  b2a1234

  b3a12

  这样,就是在以上情况下,求利200a300b的最大值。可列表如下:

   img18

  所以,每天安排生4件甲产品2件乙产品时,能得到最大利1400元。

  2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣,每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同,甲厂每月img19img20

  联合生产,尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成______套。

  1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)

  img21的时间生产上衣。所以,甲厂长于生产裤子,乙厂长于生产上衣。

  如果甲厂全月生产裤子,则可生产

  img22

  如果乙厂全月生产上衣,则可生产

  img23

  把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配2100套成衣,这时甲厂生150条裤子的时间可用来生产成套的成衣

  img24

  故现在比过去每月可以多生60套。

【最佳策略】

  1 AB二人A开始,轮流12319901990个数中划去一个数,直到最后剩下两个数互质,那B胜,否A胜。问:谁能必胜?制胜的策略是什么?

  (《中华电力杯》少年数学竞赛试题)

  讲析:将1990个数按每两个数分为一组;12),34),5619891990)。

  A任意在括号中划去一个时B就在同一个括号中划去另一个数。这B就一定能获胜。

  2 桌上放1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取,每次取得根数12根,规定取得最后一根火柴者胜。问:谁可获胜?

  1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题)

  讲析:因为两人轮流各取一次后,可以做到只3根。谁要抢到1992根,谁就必须抢到1989根,进而抢到19861983198063根。

  谁抢到3根呢?自然是后取的人。即后取的可以获胜。

  后者获胜的策略是,当先取的人每取一次火柴梗时,他紧接着取一次,每次取的根数与先取的加起来的和等3

  3 有分别装73118个的两个箱子,两人轮流在任一箱中任意取球,规定取得最后一球者为胜。问:若要先取者为获胜,应如何取?

  (上海市数学竞赛试题)

  讲析:先取者应不断地让后者在取球之前,使两箱的球处于平衡状态,即每次先取者取之后,使两箱球保持相等。这样,先取者一定获胜。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、直接思路

  直接思是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法,直接找到解题的途径。

  【顺向综合思路】从已知条件出发,根据数量关系先选择两个已知数量,提出可以解决的问题;然后把所求出的数量作为新的已知条件,与其他的已知条件搭配,再提出可以解决的问题;这样逐步推导,直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路,运用这种思路解题的方法综合

  1 兄弟俩骑车出外郊游,弟弟先出发,速度为每分200米,弟弟出5分钟后,哥哥带一条狗出发,以每分250米的速度追赶弟弟,而狗以每分300米的速度向弟弟追去,追上弟弟后,立即返回,见到哥哥后又立即向弟弟追去,直到哥哥追上弟弟,这时狗跑了多少千米?

  分析(按顺向综合思路探索):

  1)根据弟弟速度为每分200米,出5分钟的条件,可以求什么?

  可以求出弟弟走了多少米,也就是哥哥追赶弟弟的距离。

  2)根据弟弟速度为每分200米,哥哥速度为每分250米,可以求什么?

  可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。

  3)通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离1000米,每分钟可追上的距离50米,根据这两个条件,可以求什么?

  可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。

  4)狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑,看起来很复杂,仔细想一想,狗跑的时间与谁用的时间是一样的?

  狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。

  5)已知狗以每分300米的速度,在哥哥与弟弟之间来回奔跑,直到哥哥追上弟弟为止,和哥哥追上弟弟所需的时间,可以求什么?

  可以求出这时狗总共跑了多少距离?

  这个分析思路可以用下图(2.1)表示。

 img25

  2 下面图形(2.2)中有多少条线段?

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  分析(仍可用综合思路考虑):

  我们知道,直线上两点间的一段叫做线段,如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段,那么就可以这样来计数。

  1)左端点A的线段有哪些?

   AB AC AD AE AF AG 6条。

  2)左端点B的线段有哪些?

   BCBDBEBFBG5条。

  3)左端点C的线段有哪些?

  CDCECFCG4条。

  4)左端点D的线段有哪些?

  DEDFDG3条。

  5)左端点E的线段有哪些?

  EFEG2条。

  6)左端点F的线段有哪些?

  FG1条。

  然后把这些线段加起来就是所要求的线段。

  【逆向分析思路】从题目的问题入手,根据数量关系,找出解这个问题所需要的两个条件,然后把其中的一个(或两个)未知的条件作为要解决的问题,再找出解这一个(或两个)问题所需的条件;这样逐步逆推,直到所找的条件在题里都是已知的为止,这就是逆向分析思路,运用这种思路解题的方法叫分析法。

  1 两只船分别从上游A地和下游B地同时相向而行,水的流速为每分30米,两船在静水中的速度都是每分600米,有一天,两船又分别AB两地同时相向而行,但这次水流速度为平时2倍,所以两船相遇的地点比平时相遇点相60米,AB两地间的距离。

  分析(用分析思路考虑):

  1)要AB两地间的距离,根据题意需要什么条件?

  需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。

  2)要求两船的速度和,必要什么条件?

  两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分600米,那么不论其水速是否改变,其速度和均为600+600)米,这是因为顺水船速为:船+水速,逆水船速为:船-水速,故顺水船速与逆水船速的和为:船++-=2个船速(实为船在静水中的速度)

  3)要求相遇的时间,根据题意要什么条件?

  两次相遇的时间因为距离相同,速度和相同,所以应该是相等的,这就是说,尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加30米,仍不会改变相遇时间,只是改变了相遇地点:偏离原相遇60米,由此可知两船相遇的时间60÷30=2(小时)。

  此分析思路可以用下图(2.3)表示:

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  2 五环图由内径4,外径5的五个圆环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等(如2.4),已知五个圆环盖住的总面积122.5,求每个小曲边四边形的面积(圆周π3.14

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  分析(仍用逆向分析思路探索):

  1)要求每个小曲边四边形的面积,根据题意必须知道什么条件?

  曲边四边形的面积,没有公式可求,但若知8个小曲边四边形的总面积,则只要8个曲边四边形总面积除8,就可以得到每个小曲边四边形的面积了。

  2)要8个小曲边四边形的总面积,根据题意需要什么条件?

  8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分,因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。

  3)要求五个圆环的总面积,根据题意需要什么条件?

  求出一个圆环的面积,然后乘5,就是五个圆环的总面积。

  4)要求每个圆环的面积,需要什么条件?

  已知圆环的内径4)和外径5),然后按圆环面积公式求就是了。

  圆环面积公式为:

  S=πR2-r2

  =πRrRr

  其思路可用下图(2.5)表示:

img29

  【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系,不可分割的。在解题时,两种思路常常协同运用,一般根据问题先逆推第一步,再根据应用题的条件顺推,使双方在中间接通,我们把这种思路一步倒推思。这种思路简明实用。

  1 一只桶装10千克水,另外有可3千克7千克水的两只空桶,利用这三只桶,怎样才能10千克水分5千克的两份?

  分析(用一步倒推思路考虑):

  1)逆推第一步:10千克水平分5千克的两份,根据题意,关键是要找到什么条件?

  因为有一只可3千克水的桶,只要在另一只桶里2千克水,利32=5,就可以把水分5千克一桶,所以关键是要先倒出一2千克水。

  2)按条件顺推。第一次10千克水倒7千克桶10千克水桶3千克水7千克水倒3千克桶7千克水桶4千克水3千克水桶里有3千克;第二次3千克桶的水倒10千克水桶,这10千克水桶里有6千克,7千克桶里4千克水倒3千克水桶里,这7千克水桶里剩1千克3千克水桶里有3千克;第三次3千克桶里的水倒10千克桶里,这10千克桶里有9千克7千克桶里1千克水倒3千克桶里,这7千克桶里无水3千克桶里有1千克;第四次10千克桶里9千克水倒7千克桶里10千克水桶里剩 2千克水7千克桶里的水倒3千克桶里(原1千克水),只倒2千克水7千克桶里剩5千克3千克桶里有3千克,然后3千克桶里3千克水10千克桶里,因为原2千克水,这时也正好5千克水了。

  其思路可用下图(2.62.7)表示:

  问题:

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  2 今有长度分别1239厘米的线段各一条,可用多少种不同的方法,从中选用若干条线段组成正方形?

  分析(仍可用一步倒推思路来考虑):

  1)逆推第一步。要求能用多少种不同方法,从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么?

  根据题意,必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围,二是每一种边长有几种组成方法。

  2)从条件顺推。

  因为九条线段的长度各不相同,所以用这些线段组成的正方形至少7条,最多用9条,这样就可以求出正方形边长的长度范围为1+2+……

img32

  当边长7厘米时,各边分别1+62+53+47组成,只有一种组成方法。

  当边长8厘米时,各边分别1+72+63+58组成,也只有一种组成方法。

  当边长9厘米时,各边分别1+82+73+6918274+5927364+591836459182+736455种组成方法。

  当边长10厘米时,各边分别1+9283746组成,也只有一种组成方法。

  当边长11厘米时,各边分别2+9 38475+6组成,也只有一种组成方法。

  将上述各种组成法相加,就是所求问题了。

  此题的思路图如下(2.8):

  问题:

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  【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件,一步步倒着推理,直到解决问题,这种解题思路叫还原思路。解这类问题,从最后结果往回算,原来加的用减、原来减的用加,原来乘的用除,原来除的用乘。运用还原思路解题的方法还原

  1 一个数加2,减3,乘4,除512,你猜这个数是多少?

  分析(用还原思路考虑):

  从运算结12逐步逆推,这个数没除5时应等于多少?没乘4时应等于多少?不减3时应等于多少?不加2时又是多少?这里分别利用了加与减,乘与除之间的逆运算关系,一步步倒推还原,直找到答案。

  其思路图如下(2.9):

  条件:

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  2 李白街上走,提壶去打酒;遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。试问酒壶中,原有多少酒?

  分析(用还原思路探索):

  李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是:李白提壶上街买酒、喝酒,每次遇到酒店,便将壶中的酒量增1倍,而每次见到香花,便饮酒作诗,喝1斗。这样他遇店、见花经3次,便把所有的酒全喝光了。问:李白的酒壶中原有酒多少?

  下面我们运用还原思路,三遇店和花,喝光壶中开始推算。

  见花1斗酒。

  第三次:见花壶中酒全喝光。

  第三次:遇店壶中有酒半斗。

  img35

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  第一次:见花壶中有酒为第二次遇店前的再1斗。

  遇店壶中有酒为第一次见花前的一半。

  其思路图如下

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  【假设思路】在自然科学领域内,一些重要的定理、法则、公式等,常常是首先提出假设、猜想,然后再进行检验、证的过程中建立起来的。数学解题中,也离不开假设思路,尤其是在解比较复杂的题目时,如能的办法去思考,往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想,再进行检验、证实的解题思路,叫假设思路。

  1 中山百货商店,委托运输队包1000只花瓶,议定每只花瓶运0.4元,如果损坏一只,不但不给运费,而且还要赔偿损5.1元。结果运输队获得运382.5元。问:损坏了花瓶多少只?

  分析(用假设思路考虑):

  1)假设在运输过程中没有损坏一个花瓶,那么所得的运费应该是多少?

  0.4×1000=400(元)。

  2)而实际只383.5元,这当中的差额,说明损坏了花瓶,而损坏一只花瓶,不但不给运费,而且还要赔偿损5.1元,这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元?

  0.45.1=5.5(元)

  3)总差额中含有一5.5元,就损坏了一只花瓶,含有几5.5元,就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。

  2 100名学生在车站准备乘车去离车600米的烈士纪念馆搞活动,等最后一人到达纪念45分钟以后,再去离纪念900米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆,它们的速度分别是每分300150米,而中巴和大巴分别可乘1025人,问最后一批学生到达公园最少需要多少时间?

  分析(用假设思路思索);

  假设从车站直接经烈士纪念馆到公园,则路程为600900)米。把在最1人到达纪念馆后停45分钟,假设为在公园停45分钟,则问题将大大简化。

  1)从车站经烈士纪念馆到达公园,中巴、大巴往返一次各要多少时间?

  中巴:600+900÷300×2=10(分钟)

  大巴:600+900÷150×2=20(分钟)

  2)中巴和大巴20分钟内共可运多少人?

  中巴每次可10人,往返一次10分钟,20分钟可20人。

  大巴每次可25人,往返一次20分钟,20分钟可25人。

  所以20分钟内中巴、大巴共45人。

  3)中巴和大 20分钟可 45人,那 40分钟就可45×2=90(人)100人运90人还剩10人,还需中巴再10分钟运一次就够了。

  4)最后可求出最后一批学生到达公园的时间:把90人所需的时间,10人所需的时间,和在纪念馆停留的时间相加即可。

  【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题,我们可以想办法将其中一个未知数进行转化,进而消去一个未知数,使数量关系化繁为简,这种思路叫消去思路,运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法,就是沿着这条思路考虑的。

  1 师徒两人合做一批零件,徒弟做6小时,师傅做8小时,一共做312个零件,徒5小时的工作量等于师2小时的工作量,师徒每小时各做多少个零件?

  分析(用消去思路考虑):

  这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量1份,把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替,那么师8小时的工作量相当于这样的几份呢?很明显,师2小时的工作量相当于徒5小时的工作量,那8小时里有几2小时就是几5小时工作量,这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量,题目里就消去了师傅工作量这个未知数;然后再312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量,就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量,根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系,也就能求出师傅的工作量了。

  2 小明2本练习本2枝铅笔2块橡皮,共0.36元,小军4本练习本3枝铅笔2块橡皮,共用0.60元,小庆5本练习本4枝铅笔2块橡皮,共用0.75元,问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱?

  分析(用消去法思考):

  这里有三个未知数,即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱?我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数,只留下一个未知数就好了。

  如何消去一个未知数或两个未知数?一般能直接消去的就直接消去,不能直接消去,就通过扩大或缩小若干倍,使它们之间有两个相同的数量,再用加减法即可消去,本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下:

  小 2 2 2 0.36

  小 4 3 2 0.60

  小 5 4 2 0.75

  现在把小明的各数分别除2,可得1本练习本1枝铅笔1块橡皮0.18元。

  接着用小庆的各数减去小军的各数,1本练习本1枝铅笔0.15元。

  再把小明各数除2所得的各数减去上数,就消去了练习本、铅笔两个未知数,得1块橡0.03元,采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。

  【转化思路】解题时,如果用一般方法暂时解答不出来,就可以变换一种方式去思考,或改变思考的角度,或转化为另外一种问题,这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。

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各养兔多少只?

  分析(用转化思路思索):

  题中数量关系比较复杂,两个分率的标准量不同,为了简化数量关系,

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只呢?这时两人养的总只数该是多少只呢?假设后的数量关系,两人养的总只数应是100-16×3=52(只)

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  img41

  分析(用转化思路分析):

  本题求和,题中每个分数的分子都1,分母是几个连续自然数的和,好像不能把每个分数分成两个分数相减,然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式,求出分母就会发现,可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。

  img42

  所以例题可以转化为:

  img43

  然后再相加,抵消中间的各个分数即可。

  【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式,从矩形面积公式想到长方体体积公式等等;类比是一个重要的思想方法,也是解题的一种重要思路。

  1 有一个挂钟,每小时敲一次钟,几点钟就敲几下,钟65秒钟敲完;钟12下,几秒敲完?

  分析(用类比思路探讨):

  有人会盲目地由倍数关系下结沦,误认10秒钟敲完,那就完全错了。其实此题只要运用类比思路,与植树问题联系起来想一想就通了:一条线路植树分成几段(株距),如果不包括两个端点,共需植n-1)棵树,如果包括两个端点,共需植树n1)棵,把钟点指数看作是一棵棵的树,把敲的时间看作棵距,此题就迎刃而解了。

  2 从时针指4点开始,再经过多少分钟,时针正好与分钟重合。

  分析(用类比思路讨论):

  本题可以与行程问题进行类比。如2.11,如果用时1小时所走的一格作为路程单位,那么本题可以重新叙述为:已知分针与时针相4格,分

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如果分针与时针同时同向出发,问:分针过多少分钟可追上时针?这样就与行程问题中的追及问题相似了4为距离差,速度差为,重合的时间,就是追上的时间。

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  【分类思路】把一个复杂的问题,依照某种规律,分解成若干个较简单的问题,从而使问题得到解决,这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。

  1 2.12,共有多少个三角形?

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  分析(用分类思路考虑):

  这样的图直接去数有多少个三角形,要做到能不重复,又不遗漏,是比较困难的。怎么办?可以把图中所有三角形按大小分成几类,然后分类去数,再相加就是总数了。本题根据条件,可以分为五类(如2.13)。

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  2 2.14,象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对处,这小卒有多少种不同的走法?

  分析(运用分类思路分析):

  小卒过河后,首先到A点,因此,题目实际上是问:A点出发,沿最短路径有多少种走法可以到处,所谓最短,是指不走回头路。

  因直接相通的PK点,所以要求A处有多少种走法,就必须是求出APAK各有多少种走法。

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  分类。一种走法ABCDEFG都是各有一种走法。

  二种走法:AH有两种走法。

  三种走法:AMAI各有三种走法。

  其他各类的走法:因为AMI3种走法,所以AN336种走法了,因为AI3种走法,AD1种走法,所以AJ31=4种走法了PNJ相邻,AN6种走法AJ4种走法,所以AP6+4=10种走法了;同KJE相邻,AJ4种走法,E1种走法,所AK4+1=5种走法。

  再求A处共有多少种走法就非常容易了。

  【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽,如果用一般的分析推理,难于找出数量之间的内在联系,求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系,使未知条件转化为已知条件,使隐蔽的数量关系明朗化,促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。

  1 2.15的正方形边长6厘米,甲三角形是正方形中的一部分,乙三角形的面积比甲三角形6平方厘米,CE长多少厘米?

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  分析(用等量代换思路思考):

  按一般思路,要CE的长,必须知道乙三角形的面积和高,而这两个条件都不知道,似乎无法入手。用等量代换思路,我们可以求出三角ABE的面积,从而求CE的长,怎样求这个三角形的面积呢?设梯形为丙:

  已 =+6

  +=6×6=36

  用+6代换乙,可得+=++6=36+6=42

  即三角ABE的面积等42平方厘米,这样,再来CE的长就简单了。

  2 有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两色棋子。第一

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这三堆棋子集中一起,问白子占全部棋子的几分之几?

  分析(用等量代换的思路来探讨):

  这道题数量关系比较复杂,如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下,那么这个问题就简单多了。出现了下面这个等式。

  第一堆(全部是白子=第二堆(全部是黑子)

  =第三堆(白+黑子 (这里指的棋子数)

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份,则第二堆(全部黑子)3份,这样就出现了每堆棋子33堆棋子的总份数自然就出来了。而第三堆黑子占2份,白子自然就只32=1份了。第一堆换成了全部白子,所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。

  【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率,也就是一个数量相当于单1的几分之几,这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路,我们把它叫做对应思路。

  1 有一块菜地和一块麦地,菜地的一半和麦地的三分之一放在一起91公亩,麦地的一半和菜地的三分之一放在一起84公亩,那么,菜地是几公亩?

  分析(用对应思路分析):

  这是一道复杂的分数应用题,我们不妨用对应思路去思索。如能找91公亩84公亩的对应分率,此题就比较容易解决了。但题中有对应分率两个,究竟相当于总公亩数的几分之几呢?这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚,现将条件排列起来寻找。

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可求出总公亩数是

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  求出总公亩数后,我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几,故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。但我们把条件稍作组合,就可以求出

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  分析到这一步,那么再去求菜地有多少公亩,则就变成了一道很简单的分数应用题了。

  2 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管,要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需5小时,要排完一池水,单开乙管

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顺序,循环各开水管,每次每管开一小时,问多少时间后水开始溢出水池?

  分析(用对应思路考虑):

  本题数量关系复杂,但仍属分数应用题,所以仍可用对应思路寻找解题途径。

  首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几,乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几,然后才能计算。

  一池1

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  通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各1小时,共4小时,池内灌进的水是全池的:

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  加上池内原有的水,池内有水:

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也就20小时以后,池内有 

 

  img62

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水池了,因20小时后,只需再灌水

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  所以这时甲管不要1小时,只要开

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总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗?

5、整数的拆分

【不连续加数拆分】

  1 将一根144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共______种不同的做法?其中面积最大的是哪一种长方形?

  1992我爱数邀请赛试题)

  讲析:做成的长方形,长与宽的和是

  144÷2=72(厘米)。

  因72=1+71=2+70=3+69==35+37=36+36

  所以,一共36种不同的做法。

  比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都36厘米时,面积最大。

  21992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数______

  1992年武汉市小学数学竞赛试题)

  讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大4的数,则把大4的这个数再分成一2与另一个大2的自然数之和,则这2与大2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含1,则乘积最不符。

  所以,要使加数之积最大,加数只能23

  但是,若加数中含32,则不如将它分23。因2×2×2=83×3=9

  所以,拆分出的自然数中,至多含有两2,而其余都3

  1992÷3=664。故,这些自然数6643

  3504个自然数,使得第一个数乘2等于第二个数除2;第三个数加2等于第四个数减2,最多______种分法。

  1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

  讲析:50分成4个自然数分别abcd

  因a×2=b÷2b=4a。所ab之和必5的倍数。

  那么ab的和51015202530354045

  又因c2=d-2d=c4。所cd之和加4之后,必2的倍数。

  cd可取的数组有:

  4010),3020),2030),1040)。

  由40÷5=840-8=3210-4÷2=310-37

  得出符合条件abcd一组为83237)。

  同理得出另外三组为:624812),4161317),281822)。

  所以,最多4种分法。

【连续加数拆分】

  1 945写成连续自然数相加的形式,有多少种?

  (第一新苗小学数学竞赛试题)

  讲析:因945=35×5×7,它共有5+1×1+1×1+1=16(个)奇约数。

  所以945共能分拆16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和。

  2 几个连续自然数相加,和能等1991吗?如果能,有几种不同的答案?写出这些答案;如果不能,说明理由。

  (全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

  讲析1991=11×181,它共有11×1+1=4(个)奇约数。

  所以1991可以分成几个连续自然数相加,并且3种答案。

  1991=1×1991得:

  1991=995996

  1991=11×181得:

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创建时间:2021-04-24 10:12
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